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Project Euler

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Problem

Largest prime factor


참고 - stackoverflow.com

problem <번역>

solution

Simple Code

소수(prime number)룰 구하는 방법으로 흔히 2가지 알고리즘을 사용한다
밀러-라빈 소수 판별법 (Miller-Rabin Primality Test) 과
에라토스테네스의 체 (Sieve of Eratosthenes) 이다.
문제는 소인수(prime factor) 즉, 소수이면서 약수인 수 중 가장 큰 값을 찾는 것이다.
아래는 밀러-라빈 소수 판별법 알고리즘을 사용한 풀이이다.

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003_Largest_prime_factor.py
def largest_prime_factor(N):
  num = 2
  prime = []

  while N != 1:
      if N % num:
          num += 1
      else:
          N = N // num
          prime.append(num)

  return prime[-1]


print(largest_prime_factor(600851475143))
HackerRank

에라토스테네스의 체 알고리즘을 사용한 풀이는 다음과 같다

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003_for_HacerRank.py
from math import sqrt


def largest_prime_factor(N):
  prime = []

  while N % 2 == 0:
      prime.append(2)
      N //= 2
  for i in range(3, int(sqrt(N))+1, 2):
      while N % i == 0:
          prime.append(i)
          N //= i

  if N > 2:
      prime.append(N)

  return max(prime)


if __name__ == '__main__':
  for _ in range(int(input())):
      N = int(input())
      print(largest_prime_factor(N))

파이썬에는 사용자의 편의를 위해 sympy 모듈 에서 primefactors를 제공한다.
(소수를 구하고 싶다면 primerange(1, N)을 사용하면 된다. 아래는 100까지의 소수와 소인수를 구한 예제)

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003_sympy_primefactor.py
from sympy import primerange
from sympy import primefactors

print(*primerange(1, 100))  # 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
print(primefactors(100))    # [2, 5]

에라토스테네스의 체 보다 밀러-라빈 소수 판별법이 간단하고 수행 속도도 더 빠르다
sympy 모듈의 함수들도 잘 기억하고 있자!

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Problem

Even Fibonacci numbers


problem <번역>

solution

Simple Code

문제에 충실하게 4백만(4,000,000) 보다 작은 피보나치 수열에서 짝수들의 합을 구했다
(짧게 코드를 구현할 수 있지만 가독성을 위해 피보나치 수열을 만들고 짝수들의 합을 구하는 함수를 따로 정의했다)

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002_Even_Fibonacci_numbers.py
def fibonacci(max_num):
    numbers = [1, 2]

    while numbers[-1] < max_num:
        numbers.append(numbers[-2] + numbers[-1])

    return numbers[:-1]


def sum_of_the_even_valued(numbers):
    total = 0
    for n in numbers:
        if n % 2 == 0:
            total += n

    return total

print(sum_of_the_even_valued(fibonacci(4000000)))
HackerRank

위 풀이 방식을 그대로 적용해도 문제 없이 모든 테스트 케이스를 통과한다.

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002_for_HacerRank.py
def fibonacci(max_num):
    numbers = [1, 2]

    while numbers[-1] < max_num:
        numbers.append(numbers[-2] + numbers[-1])

    return numbers[:-1]


def sum_of_the_even_valued(numbers):
    total = 0
    for n in numbers:
        if n % 2 == 0:
            total += n

    return total


if __name__ == '__main__':
    T = int(input())
    for _ in range(T):
        N = int(input())
        print(fibonacci(N))
        print(sum_of_the_even_valued(fibonacci(N)))

하지만 짝수인 피보나치 수열들을 잘 살펴보면 [2, 8, 34, 144, 610, …]
8 = 2 * 4 + 0
34 = 8 * 4 + 2
144 = 34 * 4 + 8
610 = 144 * 4 + 34
즉,
다음 짝수 = 이전 짝수 * 4 + 전전 짝수
라는 규칙을 발견할 수 있다

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002_even_fibonnacci.py
def even_fibonacci(max_num):
    prev, cur, total = 0, 2, 0

    while cur <= max_num:
        total += cur

        prev, cur = cur, cur * 4 + prev

    return total


if __name__ == '__main__':
    T = int(input())
    for _ in range(T):
        N = int(input())
        print(even_fibonacci(N))

피보나치 수열에서 짝수들은 3칸씩 떨어져 있음을 알게되었다.
불필요하게 모든 피보나치 수열을 구하지 말자

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Problem

Multiples of 3 and 5


problem <번역>

solution

Simple Code

반복문을 통해 3과 5로 나누어 떨어지는 것들만 조건문을 통해 합하면 된다

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001_multiples_of_3_and_5.py
def multiples_3_5(N):
    return sum([num for num in range(N) if (num % 3 == 0 or num % 5 == 0)])

print(multiples_3_5(1000))
HackerRank

HackerRank에 등록된 테스트 케이스들은 해당 문제의 풀이를 조금 더 까다롭게 검사한다.
이번 문제에서 위 풀이를 사용하면 TestCase 2, 3에서 ‘Terminated due to timeout’ 에러를 발생 시킨다.(아래 코드는 테스트 케이스를 입력 받는 부분만 추가한 것)
즉, 최적화된 방법으로 문제를 풀어야 한다.

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Terminated due to timeout
def multiples_3_5(N):
    return sum([num for num in range(N) if (num % 3 == 0 or num % 5 == 0)])

if __name__ == '__main__':
    T = int(input())
    for _ in range(T):
        N = int(input())
        print(multiples_3_5(N))

arithmetic sequence - mathsisfun.com
반복문을 제거해서 시간 복잡도를 O(1)로 바꿔준다. (등차수열을 활용해 결과를 한번에 구한다)
주의할 것은 등차수열의 개수를 구할 때 // 연산자를 사용하는 것이 좋다.(int((N-1)/3) 이렇게 구하면 안된다)

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001_for_HacerRank.py
def arithmetic_sequence(mul):
    return mul * (mul + 1)

T = int(input())
for _ in range(T):
    N = int(input())

    mul_3 = (N-1) // 3
    mul_5 = (N-1) // 5
    mul_15 = (N-1) // 15 # lcm of 3, 5 = 15
    print((3 * arithmetic_sequence(mul_3) + 5 * arithmetic_sequence(mul_5) - 15 * arithmetic_sequence(mul_15)) // 2)

가독성(readability)을 생각했을 때, 반복문을 사용한 방법이 더 좋은 것 같지만 본 프로젝트의 의도가 수학적인 해결 방법을 고민해 보는 것이기 때문에 아래의 풀이 방법을 정확히 이해하는 것이 중요하다